究竟是何种存在使得物理学家不需要十分“严谨”的运用数学？
2024-11-19 阅读 19
更新于 2024年11月21日
其实这也并不是物理学有什么特殊原因，这个情况的产生是由于“科学”与“数学”的区别造成的。
科学是“逻辑+实证”，“实证”占有着半壁江山；而数学是基于纯粹的“逻辑”，不需要“实证”。从而我们在对科学问题进行判断的时候，隐含着应用了实证的原则。
比如，数学上可以严格证明，存在着某个“无处可导的连续函数”；但是在物理上，物理学家可以毫不犹豫的判断，不存在某个质点运动位移随时间变化的曲线是“无处可导的连续函数”，甚至这条运动曲线是“不连续”或者“不可导”的情况都不会发生。为什么物理学家敢做出这样的判断呢？一是由于在实践上从未发现过这种诡异的运动曲线，二是由于任何实证都是有精度的，在特定的精度范围内这种曲线也不会存在。下图是无处可导的连续函数——魏尔斯特拉斯曲线与物理学上认为的实际运动曲线的示例。
紫色曲线是数学上无处可导的连续函数图像，而在物理学上，一条曲线大概是绿色曲线的样子，因为实证（物理实验）总是有精度的，不可能无限精确。有限精度的实证的支撑，是科学家们敢于“不严谨”运用数学的主要原因。
可能有的朋友会问了，万一客观世界真的是无限精确且就是会出现不可导的运动曲线呢？其实也没关系，因为科学研究是为人类服务的，科学结果是可以被人类“感知”（包括使用各种仪器、工器具）到的。对于不能被人类感知到的那种精度，我们完全可以认为不存在，因为这并不影响因此而形成的科学理论对实践的指导。比如我们发射探月小车，在月球降落的地点差个几十米、几百米问题都不大，如果说我们的动力学理论不够精确，在0.0000001毫米的精度内就不正确了，那也不影响我们发射飞船去探月嘛。
因此，包括物理学家在内的科学家敢于不“严谨”的应用数学，本质上就是因为“科学”与“数学”的区别。
大多数情况下都是稳定性的功劳。即对于一个系统而言，即便是我们通过观察等方法得到的系数，初值等等虽然有误差，但是它带来的结果的差别会（连续地）依赖于我们的误差，且初始的误差越小，结果也会越精确。这样的系统所具有的稳定性也就带给我们足够的空间去理解和相信我们通过数学模型获得的结论所描述的情形跟现实中的类似，或者说从某种程度（或精度）上可以通过该模型理解这类问题。最简单的，就像你重力加速度取9.8，还是其它更为精确的数值，某些时候是基于你的需求来的。在不需要高精确度只是估算的时候，你取10都是可以的，因为你相信得到结果的误差不会太大，可以接受。
当然世界总是不那么规整的，所以也有大量的模型是对于初值敏感的，所谓混沌现象。这时候人们的处理方法通常是不再采用某一个结果，而是通过概率统计的手段来计算给出。比如天气系统就是典型的混沌系统，所谓“一只南美洲亚马逊河流域热带雨林中的蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可以在两周后引起美国德克萨斯州的一场龙卷风”。此时的就没法精确地估计每一个解跟现实中的差距究竟有多大，但是人们依旧期待亚马逊蝴蝶的翅膀扇动所带给天气巨大影响的概率是很小的。此时通常借助于大型计算机等工具，我们期望能够算出哪一种可能性是最大的，从而得到想要的结果。如果看B站“中气爱”的视频，你可以发现很多时候各种天气模型计算台风的路线都是乱七八糟的，什么可能性都有，但是在影响因素不是很多的情况下，大多数时候总会有某条路线附近有大量的可能轨迹。此时人们就趋向于相信台风会大概率走该路线，但是有个百分比的误差。
其实包括现在的很多AI模型，大数据模型都算是这个思路：很多时候大家也不太知道问题背后的数学原理是什么，就是各种去尝试看效果好不好，俗称“中世纪炼丹”。但是这种漫无目的地尝试终究带来的成本是巨大的，因此如果有数学理论告诉你什么方向可行，至少是什么方向不可行，那都是很好的。
先问是不是。我不知道这个“严谨”是怎么定义的，但在我看来，物理学家任何时候都是在非常严谨地运用数学。
我承认，经常会出现比如物理学家积一个分积不出来、发散了，直接就把发散项扔掉，美其名曰重整化。然后数学家就会说，你怎么能随便乱扔呢？
而物理学家当然会认为自己不是不严谨，只是物理上这里就不应该发散，应该做一个截断，然而给你讲一大套道理。通常数学家是不买账的，所以就出现了题主所问的这个段子。
有趣的事情发生了。历史经验告诉我们，有许多特别厉害的物理学家，他们在使用完这种不严谨的小技巧后，对宇宙的理解竟意外加深了一个层次。于是，物理直觉这种特别玄妙的概念就出现了。
一个著名的例子就是普朗克常数。其实，早在玻尔兹曼的论述中，就已经出现过最小相格的概念，但那时候玻尔兹曼本人并没有能量量子化这样的观念，他对相空间分格子的做法，就是他在做数学处理时算不动，做了一个离散化处理。这在数学家看来应该算是不严谨吧。
谁知道呢，这样一个看起来不严谨的数学处理技巧，竟意外催生出了整个量子化。你是应该说玻尔兹曼的数学不够高明呢，还是他的物理直觉非同常人呢？
显然应当是后者。因为给相空间分格子，这远远不是为了数学的不严谨处理，背后是玻尔兹曼本人一直以来的核心理念：各态历经。分格子只是为了让状态在计数时看起来更容易理解，否则你凭什么说状态是“一个一个的”，它应该被一个系统遍历？
所以，物理学家认为自己做的近似从来不是在数学层面做的，而是在物理层面做的。你只要接受了我的物理模型是合理的，剩下的数学处理一定是严谨的。
于是，许多数学家会忍不住吐槽。什么物理层面，分明是你们的数学功底不够，所以只能简化到自己的数学水平能处理的程度，都是真空球形鸡。
