力做功与路径无关的充要条件是什么？
2024-11-19 阅读 102
更新于 2024年11月21日
先说结论，保守力做功与路径无关。
下面我将会依次解答：
什么是保守力和非保守力，怎么“创造”一个保守力，怎么判断一个力是不是保守力。
1.保守力和非保守力我们先来看一个弹簧振子。一个小球（可视为质点）与弹簧连接在一起置于光滑水平面，弹簧的劲度系数是 kk ，小球质量是 mm ，取平衡点是原点 OO 。
现在小球在位移 x x 处受力是 F=-kxF=-kx 。我们让小球位移一段无穷小位移 dxdx ，在这个过程中弹簧弹力做功 dW_1=-kxdxdW_1=-kxdx 。积分后会得到 W_1=\int_{x_1}^{x_2}-kxdxW_1=\int_{x_1}^{x_2}-kxdx ，即
W_1=\frac{1}{2}kx_1^{2}-\frac{1}{2}kx_2^{2}W_1=\frac{1}{2}kx_1^{2}-\frac{1}{2}kx_2^{2} ......(1)
这里就已经发现弹簧弹力做的功之和初末位置 x_1x_1 和 x_2x_2 有关，而和路径无关了。
根据动能定理有 W_1=\frac{1}{2}mv_2^{2}-\frac{1}{2}mv_1^{2}W_1=\frac{1}{2}mv_2^{2}-\frac{1}{2}mv_1^{2} ，稍作整理可以得到
\frac{1}{2}mv_1^{2}+\frac{1}{2}kx_1^{2}=\frac{1}{2}mv_2^{2}+\frac{1}{2}kx_2^{2}\frac{1}{2}mv_1^{2}+\frac{1}{2}kx_1^{2}=\frac{1}{2}mv_2^{2}+\frac{1}{2}kx_2^{2} ......(2)
这个等式说明在这个系统运行的过程中有这样一个量是保持不变的， E=\frac{1}{2}mv^{2}+\frac{1}{2}kx^{2}E=\frac{1}{2}mv^{2}+\frac{1}{2}kx^{2} 。我们把 \frac{1}{2}kx^{2}\frac{1}{2}kx^{2} 称为系统的势能（弹性势能），它与动能之和是一个定值，我们把这个叫做机械能守恒或者能量守恒。
但是并不是所有力都和弹簧弹力一样可以写出 E_k+U=CE_k+U=C 的形式。比如摩檫力就不能。这是因为上面的弹簧弹力只是位置的函数，但是摩檫力却和物体的速度有关，它不是一个位置函数。所以我们不能找到一个叫做摩擦势能的能量。
对于弹簧弹力，小球向前走一段距离再向后走一段距离，这个过程中弹簧前后两次做的功大小相等方向相反，抵消了重复路径上的功。但是对于摩擦力却是向前和向后都是负功。
我们把类似与弹簧弹力这样做功与路径无关的力叫做保守力，像摩擦力这样做功与路径有关的力叫做非保守力。
2.“创造”一个保守力上面我们提到“弹簧弹力是位置的函数而摩檫力不是，所以弹簧弹力是保守力而摩檫力不是”，这一点是否在高维（二维或者三维）也成立？很遗憾，并不是这样的，在二维和三维的情况，并不是说力是位置的函数就一定是保守力。
我们先来看一个例子，我随便写一个力 \vec{F}=x^{2}y\vec{i}+y\vec{j}\vec{F}=x^{2}y\vec{i}+y\vec{j} ，我们来看它从 (0,0)(0,0) 到 (1,1)(1,1) 的过程中做功是否和路径相关。我们选择两条路径，第一条是沿着 xx 轴到 (1,0)(1,0) ，再由 (1,0)(1,0) 沿着 yy 轴方向到 (1,1)(1,1) ；第二条路径是先沿着 yy 轴到 (0,1)(0,1) ，再沿着 xx 轴方向到 (1,1)(1,1) 。
路径1：沿着 xx 轴到 (1,0)(1,0) 的过程中， yy 的值恒为 00 ，即这个过程的功是 W_1=\int_{0}^{1}0dxW_1=\int_{0}^{1}0dx ，这个值明显为 00 ；从 (1,0)(1,0) 沿着 yy 轴到 (1,1)(1,1) 的过程中， xx 的值恒为 11 ，则 W_2=\int_{0}^{1}ydy=\frac{1}{2}W_2=\int_{0}^{1}ydy=\frac{1}{2} 。
路径2：沿着 yy 轴到 (0,1)(0,1) 的过程中， xx 的值恒为 00 ，即这个过程的功是 W_2=\int_{0}^{1}ydy=\frac{1}{2}W_2=\int_{0}^{1}ydy=\frac{1}{2} ；从 (0,1)(0,1) 沿着 yy 轴到 (1,1)(1,1) 的过程中， yy 的值恒为1，则 W_4=\int_{1}^{2}x^{2}dxW_4=\int_{1}^{2}x^{2}dx
很明显两次的功不一样。
那么我们怎么判断一个力是不是保守力呢？如果我们回看一下一维的能够弹簧振子，其实我们是找到了一个势能去对应弹簧弹力，然后我们可以写出式子 E_{k1}+U_1=E_{2}+U_1E_{k1}+U_1=E_{2}+U_1 。这里的势能U=U(x,y,z)U=U(x,y,z) 是一个只和位置有关的函数，因为我们要做功与路径无关，与让这个 UU 只和位置有关是等价的。
我们看一下这个势能的全微分就可以明白这个问题如何解决了，
dU=\frac{\partial{U}}{\partial{x}}dx+\frac{\partial{U}}{\partial{y}}dy+\frac{\partial{U}}{\partial{z}}dzdU=\frac{\partial{U}}{\partial{x}}dx+\frac{\partial{U}}{\partial{y}}dy+\frac{\partial{U}}{\partial{z}}dz ......(3)
我们令 F_x=-\frac{\partial{U}}{\partial{x}}F_x=-\frac{\partial{U}}{\partial{x}} ， F_y=-\frac{\partial{U}}{\partial{y}}F_y=-\frac{\partial{U}}{\partial{y}} ， F_z=-\frac{\partial{U}}{\partial{z}}F_z=-\frac{\partial{U}}{\partial{z}} 。那么就会得到
dU=-F_xdx-F_ydy-F_zdzdU=-F_xdx-F_ydy-F_zdz ......(4)
（4）式右端就是力 \vec{F}\vec{F} 在一段微小位移 d\vec{x}d\vec{x} 内的微元功，我们对它积分就是力的总功，它和两点的势能之差大小互为相反数。
\int_{1}^{2}dU=\int_{1}^{2}\vec{F}d\vec{s}\int_{1}^{2}dU=\int_{1}^{2}\vec{F}d\vec{s} ......(5)
U_2-U_1=-(E_{k1}-E_{k2})U_2-U_1=-(E_{k1}-E_{k2}) ......(6)
3.数学上的细节上面这些推到说明这样的事，如果一个力是保守力，那么它一定有一个与之对应的势能函数，这个势能函数只和位置有关，并且这个势能函数对 xx ， yy ， zz 偏导数分别是力 \vec{F}\vec{F} 在三个方向上的分量的相反数。
可能你会有疑问，对(4)式做积分（微元求和）这个积分的过程我们有没有选取一个特定的路径，它真的和路径无关吗？我们难道不是先沿着一条轴积分再沿着另外一条轴积分最后得出的结果吗？事实上，这个积分和路径无关，理由如下：
我们先把一段较长的位移 \vec{s}\vec{s} 分成无穷多的小段 d\vec{s}d\vec{s} 求和，它们应该是 d\vec{s_1}+d\vec{s_2}+d\vec{s_3}+...=d\vec{s}d\vec{s_1}+d\vec{s_2}+d\vec{s_3}+...=d\vec{s} ，我的意思是每个 d\vec{s}d\vec{s} 是不一样的，虽然我们对每个 d\vec{s}d\vec{s} 的积分都是沿着三条坐标轴进行的，但是因为 d\vec{s}d\vec{s} 有无穷多个，我们仍然可以认为我们的积分和路劲无关（我们已经沿着每条可能的路径都积分过一次了）。
4.判断保守力和非保守力到这里我们已经指出了一个只和位置有关的势能函数必然对应一个保守力。我们记这个势能函数 U=U(x,y,z)U=U(x,y,z) ，保守力 \vec{F}=-\frac{\partial{U}}{\partial{x}}\vec{i_x}-\frac{\partial{U}}{\partial{y}}\vec{i_y}-\frac{\partial{U}}{\partial{z}}\vec{i_z}\vec{F}=-\frac{\partial{U}}{\partial{x}}\vec{i_x}-\frac{\partial{U}}{\partial{y}}\vec{i_y}-\frac{\partial{U}}{\partial{z}}\vec{i_z} 。我们把 UU 和 \vec{F}\vec{F} 的这种关系记为 \vec{F}=-\nabla{U}\vec{F}=-\nabla{U} ， -d\vec{F}-d\vec{F} 称为函数 UU 的梯度， UU 是向量场 -d\vec{F}-d\vec{F} 的一个势函数，并称 -d\vec{F}-d\vec{F} 是势场。数学上的东西不做具体介绍了。
现在还有一个问题，怎么判断一个力是不是保守力。我们看一个二维的力 \vec{F}=-\frac{\partial{U}}{\partial{x}}\vec{i_x}+-\frac{\partial{U}}{\partial{y}}\vec{i_y}\vec{F}=-\frac{\partial{U}}{\partial{x}}\vec{i_x}+-\frac{\partial{U}}{\partial{y}}\vec{i_y} ，我们知道一个二元函数的二阶偏导是一样的，也就是有 \frac{\partial^2{U}}{\partial{x}\partial{y}}=\frac{\partial^2{U}}{\partial{y}\partial{x}}\frac{\partial^2{U}}{\partial{x}\partial{y}}=\frac{\partial^2{U}}{\partial{y}\partial{x}} 。所以显而易见，我们要判断这个力是不是保守力，只要看一下 \frac{dF_x}{dy}\frac{dF_x}{dy} 和 \frac{dF_y}{x}\frac{dF_y}{x} 是否相等就可以了，如果相等那就是保守力，反之就不是。对于三维的情况那就是要满足
\frac{\partial^2{F_x}}{\partial{y}\partial{z}}=\frac{\partial^2{F_y}}{\partial{z}\partial{x}}=\frac{\partial^2{F_z}}{\partial{x}\partial{y}}\frac{\partial^2{F_x}}{\partial{y}\partial{z}}=\frac{\partial^2{F_y}}{\partial{z}\partial{x}}=\frac{\partial^2{F_z}}{\partial{x}\partial{y}} ......(7)
力 \vec{F}\vec{F} 才是保守力。
5.基本作用力都是保守力对于四大基本作用力，按照强度减弱排出依次是强力，电磁力，弱力，万有引力。这四种作用力都是保守力。这是能量守恒所必须的，我们上面再推导保守力的过程中，其实也就是在找一个能量守恒的式子。
在我们的日常生活中，除了重力源自于万有引力，其他的各种作用力全部是电磁力的表现，所以可以说我们生活在一个电磁世界里也毫不夸张。
强力主要是原子核中让质子和中子结合在一起的力，弱力则主要和某些放射性衰变有关。
就是旋度为0。
什么是旋度呢？你可以理解为一个场的涡旋程度。一个旋度为0的场应当没有一条场线闭合，且在任何位置附近画个环，顺时针旋转的趋势和逆时针相同，这样就是一个无旋场了。
旋度的计算可以用倒三角叉乘矢量场来计算，自己搜。
力场强的旋度等于0，高中阶段可以理解为不存在场强线的弯曲，不可能打个圈，更不可能存在闭合的场强线
如果是高中的话，除了有摩擦力的情况外，其余都和路径无关。
某些无旋场，也叫保守场。
