在宇宙中，三星系统会比较稳定吗？
2024-11-19 阅读 92
更新于 2024年11月21日
2016年，为了庆贺张恭庆院士八十华诞，我师公在《中国科学》上发表了一篇综述 ，讲述了天体力学以及关于天体系统稳定性在数学上的发展过程。
原刊于：
中国科学: 数学 2016 年 第46 卷 第5 期: 1 ∼ 9
SCIENTIA SINICA Mathematica
太阳系的稳定性: 历史与现状献给张恭庆教授 80 华诞
龙以明, 孙善忠
摘要 三百多年前, Newton 得到了万有引力定律和描述太阳系的微分方程系统, 天文学家和数学家就太阳系稳定性进行了大量的研究. 本文就此问题简要介绍历史上的重要进展和近年来新的理解, 特别侧重于数学家在这个问题上的不懈努力.
关键词 太阳系 万有引力定律 N - 体问题 稳定性
MSC (2010) 主题分类 70-02, 70F, 70H14, 34D20
引言太阳系的稳定性是一个既基本又十分复杂的古老的动力学问题, 是天体力学定性理论和天体演化学的基本课题之一, 它涉及天体物理、天文学、天体力学和数学等众多学科.
关于太阳系的稳定性有各种可能的理解: 太阳系在过去或者遥远的将来也是现在的形状? 它会一直保持有界吗? 会不会有天体被太阳捕获或者从太阳系逃逸? 太阳系内的行星会发生碰撞从而对地球造成灾难甚至毁灭吗? 小行星或者宇宙碎片会改变太阳系的结构吗? 尽管人们都很关心这些问题,但它至今还没有被彻底解决.
我们主要考虑太阳系的稳定性与天体力学和数学相关的问题. 银河系的潮汐作用、太阳辐射和太阳风的影响而造成的能量动量损失以及对行星磁层的拖拽作用等天体物理效应不在本文讨论之列,甚至广义相对论效应, 我们也将很少涉及. 尽管如此, 太阳系的稳定性依然是一个极端困难的动力学问题.
自 Newton 1687 年发表《自然哲学之数学原理》以来, 数学家和天文学家们已经找到了一些关于行星稳定运动的证据, 这些探索引领了不少数学的发展, 历史上也连续出现了太阳系的稳定性的几个 “证明”.
自 Newton 开始的几代数学家的工作对理解太阳系的稳定性发挥了关键的作用, 特别是在许多伟大的数学家诸如 Euler、Clairaut、Le Rond d’Alembert、Laplace、Lagrange、Poisson、Jacobi、Cauchy和 Poincare 等的努力下, 天体力学特别是三体问题的研究形成了当今分析学的重要发展源泉之一, 对数学的发展产生了重大推动作用. 20 世纪整个动力系统理论的发展, 都或多或少受到了天体力学研究的影响, 最典型的例子之一是著名的 KAM (Kolmogorov-Arnold-Moser) 理论 (见第 5.1 小节). 特别需要提到的是通过近二十多年的数值方法研究, 法国巴黎天文台的 Laskar 发现太阳系中混沌现象是可能发生的, 而且在太阳系寿命内行星的碰撞和逃逸是可能的. 这给动力系统理论带来了新的研究课题.鉴于关于这方面的介绍比较全面详尽的中文文献匮乏, 在本文中, 我们将简要介绍关于太阳系稳定性研究的历史脉络以及研究现状, 同时也阐述它对数学发展的促进作用. 相关内容的外文文献可参见文献 [1–4] 等.
Kepler 和 Newton基于 Copernicus 的日心说和 Tycho Brahe 翔实准确的观测资料, Kepler 在其著作《新天文学》(1609 年) 和《世界的和谐》(1619 年) 中揭示了行星的运动规律, 即 Kepler 三定律:
Kepler 第一定律 (椭圆定律): 行星的运动轨道是椭圆, 且太阳位于椭圆的一个焦点上;
Kepler 第二定律 (面积定律): 行星到太阳的连线在相同的时间内扫过相同的面积;
Kepler 第三定律 (和谐定律): 行星绕太阳公转周期的平方正比于它们到太阳距离 (即椭圆半长轴)的立方.
Kepler 在研究行星运动规律的同时还试图揭示行星运动的原因, 并且他十分关注运动本身以及隐蔽的物理规律的数学表达. 他是现代天体力学的奠基人, 他的思想对天文学和物理学的发展有深远的影响. 他的这些成就和观念为 Newton 的伟大发现铺平了道路.
1687 年, Newton 出版了《自然哲学的数学原理》, 它被公认为有史以来最伟大的科学著作, 对物理学、数学、天文学和哲学等领域均产生了巨大的影响. 在该书中, Newton 将地面物体的运动与天体运动置于同一原理之上, 提出了著名的 Newton (牛顿) 三大运动定律和万有引力定律, 并以此为基础证明了 Kepler 三定律, 从而理解了两天体系统的运动规律. 这时的运动轨道为椭圆, 自然是稳定的.
接下来, 很自然的问题是考虑多天体系统或者太阳系的稳定性. 众所周知, 即使是三体问题已令 Newton 困惑几十年, 最后不得不求助于上帝. 基于彗星或者行星的相互作用, Newton 在《光学》(1703和 1717 年) 一书的结尾曾表示对太阳系稳定性的怀疑.
18 世纪时, 天文观测已经表明木星在靠近太阳, 而土星在远离太阳. 这使太阳系的稳定性成为当时科学界所关心的基本问题之一. 木星和土星的不规则运动对于理解 Newton 万有引力定律的普适性和太阳系的稳定性都至关重要. 巴黎科学院曾经多次设奖征求对此问题的解答, Euler 研究了二次长期系统并两度获奖. 虽然他的结果后来被证明是错误的, 但他的研究奠定了摄动方法的基础.
为行文方便, 下面给出星系系统的数学表述. 因为行星的质量比太阳的质量小得多, 在数学上, 太阳系可以用各个行星的椭圆轨道在相互的万有引力作用下构成的小扰动来刻画.
更精确地讲, 在数学上, 行星系统可以用下面的 (1 + n)- 体问题来描述. 给定充分小的参数 ϵ > 0,
设太阳及其 n 个大行星的质量和在空间位置分别为
m_0, ϵm_1, ϵm_2, . . . , ϵm_nm_0, ϵm_1, ϵm_2, . . . , ϵm_n 和 q = (q_0, q_1, . . . , q_n) ∈ (R^3)^{n+1}q = (q_0, q_1, . . . , q_n) ∈ (R^3)^{n+1}
根据万有引力定律, 描述行星运动的 Newton 方程组为
\displaystyle\ddot{q}_0=\epsilon \sum_{k \neq 0} m_k \frac{q_k-q_0}{\left\|q_k-q_0\right\|^3}, \displaystyle\ddot{q}_0=\epsilon \sum_{k \neq 0} m_k \frac{q_k-q_0}{\left\|q_k-q_0\right\|^3}, (2.1)
\displaystyle\ddot{q}_j=m_0 \frac{q_0-q_j}{\left\|q_0-q_j\right\|^3}+\epsilon \sum_{k \neq 0,j} m_k \frac{q_k-q_0}{\left\|q_k-q_0\right\|^3}, \ \ j=1,...,n. \displaystyle\ddot{q}_j=m_0 \frac{q_0-q_j}{\left\|q_0-q_j\right\|^3}+\epsilon \sum_{k \neq 0,j} m_k \frac{q_k-q_0}{\left\|q_k-q_0\right\|^3}, \ \ j=1,...,n. (2.2)
由于上述系统所具有的平移不变性 (现称为 Galileo (伽利略) 平移不变性), 不失一般性, 我们总是可以假定重心在坐标原点, 由此可以由行星的运动确定太阳的运动, 故而只需研究这些行星 q_jq_j 所满足的方程 (2.2). 在状态空间中, 系统 (2.2) 按照 ϵ 展开等价于
\dot z = v(z) = v_0(z) + ϵv_1(z)\dot z = v(z) = v_0(z) + ϵv_1(z) ,
其中
\Delta:=\bigcup\limits_{j,k} \{q_j=q_k\}\Delta:=\bigcup\limits_{j,k} \{q_j=q_k\}
为这些天体的碰撞点集,
q = (q_1, . . . , q_n) ∈ (R^3)^n\backslash\Delta, z = (q, \dot q) ∈ T (R^{3n} \backslash\Delta)q = (q_1, . . . , q_n) ∈ (R^3)^n\backslash\Delta, z = (q, \dot q) ∈ T (R^{3n} \backslash\Delta) .
当 ϵ = 0 时, 这是一个完全可积、甚至超可积的 Hamilton 系统, 每个行星的轨道退化成 Kepler 运动, 行星系统的运动可以看成是非耦合的 Kepler 运动在行星间相互引力作用下的摄动问题, 即近可积Hamilton 系统.
Lagrange、Laplace 和 Poisson1. 常数变易法
由常微分方程组解的存在唯一性定理和对初值的连续依赖性定理, 给定初值等价于给定积分常数 (首次积分), 因此, 上面提到的系统的解可以表示成 z = z(t, ξ)z = z(t, ξ) . 积分常数向量 ξ = (ξ_1, . . . , ξ_{6n})ξ = (ξ_1, . . . , ξ_{6n}) 通常取相互独立的轨道根数, 例如, 取每个行星椭圆轨道的半长轴、离心率、近点角距、过近点时刻/平近点角、轨道面对坐标平面的倾角、升交点经度. 给定初值, 向量场 v_0v_0 的相应的积分曲线 z(t, ξ)z(t, ξ) 满足
\frac{\partial z}{\partial \xi}(t, \xi) = v_0(z(t, \xi))\frac{\partial z}{\partial \xi}(t, \xi) = v_0(z(t, \xi)) .
它可以看成向量场 v = v_0 + ϵv_1v = v_0 + ϵv_1 (ϵ 充分小) 的积分曲线的一级近似, 此时 ξξ 不再是 vv 的首次积分, 而是缓慢地随时间变化 ξ(t) ξ(t) . 自然地, 人们寻找向量场 vv 形如 z = z(t, ξ(t))z = z(t, ξ(t)) 的解, 其中 ξ(t) ξ(t) 是新的未知函数. 这就是常数变易法的起源. ξ(t) 满足如下 Lagrange 行星运动方程:
\frac{\partial z}{\partial \xi}(t, \xi(t)) \cdot \dot{\xi}(t)=\epsilon v_1(t, \xi(t))\frac{\partial z}{\partial \xi}(t, \xi(t)) \cdot \dot{\xi}(t)=\epsilon v_1(t, \xi(t)) ,
它是 Lagrange 在研究行星运动时于 1780 年提出的一种受摄运动方程. 这种方法的应用十分广泛, 特别是被 Le Verrier 成功地用来研究大行星的运动, 并据此发现了海王星. 几何上, 真实轨道是瞬时椭圆 ξ(t)ξ(t) 的包络.
历史上, Clairaut、Le Rond d’Alembert、Euler 和 Lagrange 等为了解决月球近地点以及木星与土星的相互摄动问题, 曾经求解过它的近似方程. 在艰难曲折的求解过程中, 摄动理论应运而生并不断发展.
Lagrange 在此发展过程中居功至伟. 事实上, 是 Lagrange 首先认识到上述初值条件到积分常数(轨道根数) 的映射是坐标变换, 这可以看成是抽象微分流形概念之发韧. 该坐标变换的超越性可管窥于 Kepler 方程 M = E − e \sin EM = E − e \sin E 中, 这里 M 是平近点角, E 是偏近点角. Lagrange 正是在求解该方程时发现了著名的 Lagrange 反演公式, 而 Cauchy 为了理解 Lagrange 的工作系统地发展了复变函数理论特别是积分公式. Lagrange 考虑的是收敛幂级数, 对形式幂级数可类比定义它的反演. 而形式幂级数复合的系数由Faa di Bruno 公式给出, 它背后的代数结构就是Hopf 代数, 这同Connes-Kreimer 新近在摄动量子场理论中发现的 Hopf 代数同气连枝 (参见文献 [5, 第 131 页]). 同时, Lagrange 和 Laplace一道在系列著述中将变分方程表述成 Hamilton 系统的形式并分别引入了 Lagrange 括号、Poisson 括号和辛结构, 这构成了局部辛几何的发端.
2. Lagrange 和 Laplace 稳定性定理
变分方程的建立在数学上是严格的, 但是其求解在数学上却困难重重. 因为变分方程中总是含有小参数 (行星质量和离心率等), 典型的方法是分析方法, 即求关于小参数的级数形式的近似分析解. Lagrange、Laplace 和 Poisson 正是在此意义下证明了太阳系的稳定性. 确切地讲, Lagrange 和 Laplace证明了如下两个定理:
定理 1 (Lagrange、Laplace)
方之积, 再对所有行星求和, 其总和是常数加一些周期项.
定理 2 (Lagrange、Laplace) 在一阶摄动下, 每个行星的质量与其轨道半长轴平方根和倾角正切 平方之积, 再对所有行星求和, 其总和是常数加一些周期项.
一阶摄动要将变分方程的右端对时间积分, 而通常它又不是时间的显函数, 必须进行级数展开. 如何进行展开是证明的关键. 这也可以用现代 Hamilton 系统的观点来看: 对该近可积 Hamilton 系统,首先取一组辛坐标, 如 Poincare 坐标; 通过对快变量积分进行平均化 (从而分离出行星绕太阳的快速运动), 得到 (一阶) 长期 (secular) 系统 (也称平均化系统, 即上述变分方程), 它描述相互摄动力影响下 Kepler 椭圆形状和位置的缓慢演变; 在长期系统中, 半长轴是运动常数, 上述定理等价于说其坐标原点 (对应圆型水平运动) 是椭圆不动点, 从而离心率和倾角是线性稳定的. 快慢变量可分离的根本原因就在于 Kepler 问题的高度退化性.
这两个定理特别说明行星运动轨道的半长轴, 离心率和轨道面倾角均没有长期摄动, 故而反映出太阳系的稳定性. 但是, 这是在一阶摄动的意义下, 如果讨论更高阶的摄动, 情形可能会完全不同.
3. Poisson 稳定性定理
定理 3 (Poisson) 在二阶摄动的意义下, 行星轨道的半长轴不存在摄动长期项, 只有周期项和混合项 (也称 Poisson 项, 即时间与周期项的乘积).
需要指出的是, 混合项的出现是方法造成的, 可以通过合适的坐标变换将其消除, 因此得到与一阶摄动下相同的结果.
后来的研究 (Le Verrier、Egintis、Haretu 和 Meffroy (1955 年) 等) 证明行星轨道的半长轴确实有三阶长期摄动, 而离心率也肯定有长期摄动. 但这并不意味着它们就会无限增大或减小, 从而导致太阳系的不稳定. 因为如果将各阶摄动都考虑进去, 半长轴和离心率将表示为时间的幂级数, 但是幂级数也可能表示周期函数.
当然, 也有 Le Verrier 在研究高阶摄动时指出的级数收敛问题, 这将成为未来的天文学家和数学家关注的焦点之一; 另外, 有没有非摄动影响也不清楚. 因此, 循此途径无法根本解决太阳系的稳定性问题. 当然这些定理在天体力学和数学的发展史上具有重要的历史意义.
Poincare天体力学是 Poincare 终其一生的研究课题, 他的很多思想源自对三体问题的深入理解. 著名的例子是关于常微分方程系统的定性理论. 他在分别于 1892、1893 和 1899 年出版的三卷本划时代经典巨著《天体力学新方法》(参见文献 [6]) 中系统地总结和发展了他在该方向的研究与探索. 为了理解三体问题的复杂行为, Poincare 引入了几何、拓扑和概率等研究微分方程的定性方法, 动力系统理论也由此诞生; 而且这也是 Poincare 发展拓扑学的两大动机之一 (另一起因源自与 Picard 共同发展的两变量的复变函数的几何理论). 该著作引领动力系统理论发展历经百年, 时至今日仍然是天体力学研究的一个灵感之源.
