在宇宙中，三星系统会比较稳定吗？
2024-11-19 阅读 187
更新于 2024年11月21日
2016年，为了庆贺张恭庆院士八十华诞，我师公在《中国科学》上发表了一篇综述 ，讲述了天体力学以及关于天体系统稳定性在数学上的发展过程。
原刊于：
中国科学: 数学 2016 年 第46 卷 第5 期: 1 ∼ 9
SCIENTIA SINICA Mathematica
太阳系的稳定性: 历史与现状献给张恭庆教授 80 华诞
龙以明, 孙善忠
摘要 三百多年前, Newton 得到了万有引力定律和描述太阳系的微分方程系统, 天文学家和数学家就太阳系稳定性进行了大量的研究. 本文就此问题简要介绍历史上的重要进展和近年来新的理解, 特别侧重于数学家在这个问题上的不懈努力.
关键词 太阳系 万有引力定律 N - 体问题 稳定性
MSC (2010) 主题分类 70-02, 70F, 70H14, 34D20
引言太阳系的稳定性是一个既基本又十分复杂的古老的动力学问题, 是天体力学定性理论和天体演化学的基本课题之一, 它涉及天体物理、天文学、天体力学和数学等众多学科.
关于太阳系的稳定性有各种可能的理解: 太阳系在过去或者遥远的将来也是现在的形状? 它会一直保持有界吗? 会不会有天体被太阳捕获或者从太阳系逃逸? 太阳系内的行星会发生碰撞从而对地球造成灾难甚至毁灭吗? 小行星或者宇宙碎片会改变太阳系的结构吗? 尽管人们都很关心这些问题,但它至今还没有被彻底解决.
我们主要考虑太阳系的稳定性与天体力学和数学相关的问题. 银河系的潮汐作用、太阳辐射和太阳风的影响而造成的能量动量损失以及对行星磁层的拖拽作用等天体物理效应不在本文讨论之列,甚至广义相对论效应, 我们也将很少涉及. 尽管如此, 太阳系的稳定性依然是一个极端困难的动力学问题.
自 Newton 1687 年发表《自然哲学之数学原理》以来, 数学家和天文学家们已经找到了一些关于行星稳定运动的证据, 这些探索引领了不少数学的发展, 历史上也连续出现了太阳系的稳定性的几个 “证明”.
自 Newton 开始的几代数学家的工作对理解太阳系的稳定性发挥了关键的作用, 特别是在许多伟大的数学家诸如 Euler、Clairaut、Le Rond d’Alembert、Laplace、Lagrange、Poisson、Jacobi、Cauchy和 Poincare 等的努力下, 天体力学特别是三体问题的研究形成了当今分析学的重要发展源泉之一, 对数学的发展产生了重大推动作用. 20 世纪整个动力系统理论的发展, 都或多或少受到了天体力学研究的影响, 最典型的例子之一是著名的 KAM (Kolmogorov-Arnold-Moser) 理论 (见第 5.1 小节). 特别需要提到的是通过近二十多年的数值方法研究, 法国巴黎天文台的 Laskar 发现太阳系中混沌现象是可能发生的, 而且在太阳系寿命内行星的碰撞和逃逸是可能的. 这给动力系统理论带来了新的研究课题.鉴于关于这方面的介绍比较全面详尽的中文文献匮乏, 在本文中, 我们将简要介绍关于太阳系稳定性研究的历史脉络以及研究现状, 同时也阐述它对数学发展的促进作用. 相关内容的外文文献可参见文献 [1–4] 等.
Kepler 和 Newton基于 Copernicus 的日心说和 Tycho Brahe 翔实准确的观测资料, Kepler 在其著作《新天文学》(1609 年) 和《世界的和谐》(1619 年) 中揭示了行星的运动规律, 即 Kepler 三定律:
Kepler 第一定律 (椭圆定律): 行星的运动轨道是椭圆, 且太阳位于椭圆的一个焦点上;
Kepler 第二定律 (面积定律): 行星到太阳的连线在相同的时间内扫过相同的面积;
Kepler 第三定律 (和谐定律): 行星绕太阳公转周期的平方正比于它们到太阳距离 (即椭圆半长轴)的立方.
Kepler 在研究行星运动规律的同时还试图揭示行星运动的原因, 并且他十分关注运动本身以及隐蔽的物理规律的数学表达. 他是现代天体力学的奠基人, 他的思想对天文学和物理学的发展有深远的影响. 他的这些成就和观念为 Newton 的伟大发现铺平了道路.
1687 年, Newton 出版了《自然哲学的数学原理》, 它被公认为有史以来最伟大的科学著作, 对物理学、数学、天文学和哲学等领域均产生了巨大的影响. 在该书中, Newton 将地面物体的运动与天体运动置于同一原理之上, 提出了著名的 Newton (牛顿) 三大运动定律和万有引力定律, 并以此为基础证明了 Kepler 三定律, 从而理解了两天体系统的运动规律. 这时的运动轨道为椭圆, 自然是稳定的.
接下来, 很自然的问题是考虑多天体系统或者太阳系的稳定性. 众所周知, 即使是三体问题已令 Newton 困惑几十年, 最后不得不求助于上帝. 基于彗星或者行星的相互作用, Newton 在《光学》(1703和 1717 年) 一书的结尾曾表示对太阳系稳定性的怀疑.
18 世纪时, 天文观测已经表明木星在靠近太阳, 而土星在远离太阳. 这使太阳系的稳定性成为当时科学界所关心的基本问题之一. 木星和土星的不规则运动对于理解 Newton 万有引力定律的普适性和太阳系的稳定性都至关重要. 巴黎科学院曾经多次设奖征求对此问题的解答, Euler 研究了二次长期系统并两度获奖. 虽然他的结果后来被证明是错误的, 但他的研究奠定了摄动方法的基础.
为行文方便, 下面给出星系系统的数学表述. 因为行星的质量比太阳的质量小得多, 在数学上, 太阳系可以用各个行星的椭圆轨道在相互的万有引力作用下构成的小扰动来刻画.
更精确地讲, 在数学上, 行星系统可以用下面的 (1 + n)- 体问题来描述. 给定充分小的参数 ϵ > 0,
设太阳及其 n 个大行星的质量和在空间位置分别为
m_0, ϵm_1, ϵm_2, . . . , ϵm_nm_0, ϵm_1, ϵm_2, . . . , ϵm_n 和 q = (q_0, q_1, . . . , q_n) ∈ (R^3)^{n+1}q = (q_0, q_1, . . . , q_n) ∈ (R^3)^{n+1}
根据万有引力定律, 描述行星运动的 Newton 方程组为
\displaystyle\ddot{q}_0=\epsilon \sum_{k \neq 0} m_k \frac{q_k-q_0}{\left\|q_k-q_0\right\|^3}, \displaystyle\ddot{q}_0=\epsilon \sum_{k \neq 0} m_k \frac{q_k-q_0}{\left\|q_k-q_0\right\|^3}, (2.1)
\displaystyle\ddot{q}_j=m_0 \frac{q_0-q_j}{\left\|q_0-q_j\right\|^3}+\epsilon \sum_{k \neq 0,j} m_k \frac{q_k-q_0}{\left\|q_k-q_0\right\|^3}, \ \ j=1,...,n. \displaystyle\ddot{q}_j=m_0 \frac{q_0-q_j}{\left\|q_0-q_j\right\|^3}+\epsilon \sum_{k \neq 0,j} m_k \frac{q_k-q_0}{\left\|q_k-q_0\right\|^3}, \ \ j=1,...,n. (2.2)
由于上述系统所具有的平移不变性 (现称为 Galileo (伽利略) 平移不变性), 不失一般性, 我们总是可以假定重心在坐标原点, 由此可以由行星的运动确定太阳的运动, 故而只需研究这些行星 q_jq_j 所满足的方程 (2.2). 在状态空间中, 系统 (2.2) 按照 ϵ 展开等价于
\dot z = v(z) = v_0(z) + ϵv_1(z)\dot z = v(z) = v_0(z) + ϵv_1(z) ,
其中
\Delta:=\bigcup\limits_{j,k} \{q_j=q_k\}\Delta:=\bigcup\limits_{j,k} \{q_j=q_k\}
为这些天体的碰撞点集,
q = (q_1, . . . , q_n) ∈ (R^3)^n\backslash\Delta, z = (q, \dot q) ∈ T (R^{3n} \backslash\Delta)q = (q_1, . . . , q_n) ∈ (R^3)^n\backslash\Delta, z = (q, \dot q) ∈ T (R^{3n} \backslash\Delta) .
当 ϵ = 0 时, 这是一个完全可积、甚至超可积的 Hamilton 系统, 每个行星的轨道退化成 Kepler 运动, 行星系统的运动可以看成是非耦合的 Kepler 运动在行星间相互引力作用下的摄动问题, 即近可积Hamilton 系统.
Lagrange、Laplace 和 Poisson1. 常数变易法
由常微分方程组解的存在唯一性定理和对初值的连续依赖性定理, 给定初值等价于给定积分常数 (首次积分), 因此, 上面提到的系统的解可以表示成 z = z(t, ξ)z = z(t, ξ) . 积分常数向量 ξ = (ξ_1, . . . , ξ_{6n})ξ = (ξ_1, . . . , ξ_{6n}) 通常取相互独立的轨道根数, 例如, 取每个行星椭圆轨道的半长轴、离心率、近点角距、过近点时刻/平近点角、轨道面对坐标平面的倾角、升交点经度. 给定初值, 向量场 v_0v_0 的相应的积分曲线 z(t, ξ)z(t, ξ) 满足
\frac{\partial z}{\partial \xi}(t, \xi) = v_0(z(t, \xi))\frac{\partial z}{\partial \xi}(t, \xi) = v_0(z(t, \xi)) .
它可以看成向量场 v = v_0 + ϵv_1v = v_0 + ϵv_1 (ϵ 充分小) 的积分曲线的一级近似, 此时 ξξ 不再是 vv 的首次积分, 而是缓慢地随时间变化 ξ(t) ξ(t) . 自然地, 人们寻找向量场 vv 形如 z = z(t, ξ(t))z = z(t, ξ(t)) 的解, 其中 ξ(t) ξ(t) 是新的未知函数. 这就是常数变易法的起源. ξ(t) 满足如下 Lagrange 行星运动方程:
\frac{\partial z}{\partial \xi}(t, \xi(t)) \cdot \dot{\xi}(t)=\epsilon v_1(t, \xi(t))\frac{\partial z}{\partial \xi}(t, \xi(t)) \cdot \dot{\xi}(t)=\epsilon v_1(t, \xi(t)) ,
它是 Lagrange 在研究行星运动时于 1780 年提出的一种受摄运动方程. 这种方法的应用十分广泛, 特别是被 Le Verrier 成功地用来研究大行星的运动, 并据此发现了海王星. 几何上, 真实轨道是瞬时椭圆 ξ(t)ξ(t) 的包络.
历史上, Clairaut、Le Rond d’Alembert、Euler 和 Lagrange 等为了解决月球近地点以及木星与土星的相互摄动问题, 曾经求解过它的近似方程. 在艰难曲折的求解过程中, 摄动理论应运而生并不断发展.
Lagrange 在此发展过程中居功至伟. 事实上, 是 Lagrange 首先认识到上述初值条件到积分常数(轨道根数) 的映射是坐标变换, 这可以看成是抽象微分流形概念之发韧. 该坐标变换的超越性可管窥于 Kepler 方程 M = E − e \sin EM = E − e \sin E 中, 这里 M 是平近点角, E 是偏近点角. Lagrange 正是在求解该方程时发现了著名的 Lagrange 反演公式, 而 Cauchy 为了理解 Lagrange 的工作系统地发展了复变函数理论特别是积分公式. Lagrange 考虑的是收敛幂级数, 对形式幂级数可类比定义它的反演. 而形式幂级数复合的系数由Faa di Bruno 公式给出, 它背后的代数结构就是Hopf 代数, 这同Connes-Kreimer 新近在摄动量子场理论中发现的 Hopf 代数同气连枝 (参见文献 [5, 第 131 页]). 同时, Lagrange 和 Laplace一道在系列著述中将变分方程表述成 Hamilton 系统的形式并分别引入了 Lagrange 括号、Poisson 括号和辛结构, 这构成了局部辛几何的发端.
2. Lagrange 和 Laplace 稳定性定理
变分方程的建立在数学上是严格的, 但是其求解在数学上却困难重重. 因为变分方程中总是含有小参数 (行星质量和离心率等), 典型的方法是分析方法, 即求关于小参数的级数形式的近似分析解. Lagrange、Laplace 和 Poisson 正是在此意义下证明了太阳系的稳定性. 确切地讲, Lagrange 和 Laplace证明了如下两个定理:
定理 1 (Lagrange、Laplace)
方之积, 再对所有行星求和, 其总和是常数加一些周期项.
定理 2 (Lagrange、Laplace) 在一阶摄动下, 每个行星的质量与其轨道半长轴平方根和倾角正切 平方之积, 再对所有行星求和, 其总和是常数加一些周期项.
一阶摄动要将变分方程的右端对时间积分, 而通常它又不是时间的显函数, 必须进行级数展开. 如何进行展开是证明的关键. 这也可以用现代 Hamilton 系统的观点来看: 对该近可积 Hamilton 系统,首先取一组辛坐标, 如 Poincare 坐标; 通过对快变量积分进行平均化 (从而分离出行星绕太阳的快速运动), 得到 (一阶) 长期 (secular) 系统 (也称平均化系统, 即上述变分方程), 它描述相互摄动力影响下 Kepler 椭圆形状和位置的缓慢演变; 在长期系统中, 半长轴是运动常数, 上述定理等价于说其坐标原点 (对应圆型水平运动) 是椭圆不动点, 从而离心率和倾角是线性稳定的. 快慢变量可分离的根本原因就在于 Kepler 问题的高度退化性.
这两个定理特别说明行星运动轨道的半长轴, 离心率和轨道面倾角均没有长期摄动, 故而反映出太阳系的稳定性. 但是, 这是在一阶摄动的意义下, 如果讨论更高阶的摄动, 情形可能会完全不同.
3. Poisson 稳定性定理
定理 3 (Poisson) 在二阶摄动的意义下, 行星轨道的半长轴不存在摄动长期项, 只有周期项和混合项 (也称 Poisson 项, 即时间与周期项的乘积).
需要指出的是, 混合项的出现是方法造成的, 可以通过合适的坐标变换将其消除, 因此得到与一阶摄动下相同的结果.
后来的研究 (Le Verrier、Egintis、Haretu 和 Meffroy (1955 年) 等) 证明行星轨道的半长轴确实有三阶长期摄动, 而离心率也肯定有长期摄动. 但这并不意味着它们就会无限增大或减小, 从而导致太阳系的不稳定. 因为如果将各阶摄动都考虑进去, 半长轴和离心率将表示为时间的幂级数, 但是幂级数也可能表示周期函数.
当然, 也有 Le Verrier 在研究高阶摄动时指出的级数收敛问题, 这将成为未来的天文学家和数学家关注的焦点之一; 另外, 有没有非摄动影响也不清楚. 因此, 循此途径无法根本解决太阳系的稳定性问题. 当然这些定理在天体力学和数学的发展史上具有重要的历史意义.
Poincare天体力学是 Poincare 终其一生的研究课题, 他的很多思想源自对三体问题的深入理解. 著名的例子是关于常微分方程系统的定性理论. 他在分别于 1892、1893 和 1899 年出版的三卷本划时代经典巨著《天体力学新方法》(参见文献 [6]) 中系统地总结和发展了他在该方向的研究与探索. 为了理解三体问题的复杂行为, Poincare 引入了几何、拓扑和概率等研究微分方程的定性方法, 动力系统理论也由此诞生; 而且这也是 Poincare 发展拓扑学的两大动机之一 (另一起因源自与 Picard 共同发展的两变量的复变函数的几何理论). 该著作引领动力系统理论发展历经百年, 时至今日仍然是天体力学研究的一个灵感之源.
Poincare 将天文学中大量出现在近可积 Hamilton 系统 (如我们的太阳系系统) 研究中的摄动级数的小分母问题视为天体力学根本问题, 并特别强调它们与研究方法的无关性.
而且, Poincare 坚持认为天体力学的中心任务除了理解太阳系的稳定性之外, 还有与之共生的另一重要问题是: Newton 定律是否足以解释所有天文现象? 换句话说就是在 Newton 力学的框架下试图解释和理解尽可能多的自然规律. 这与 18 世纪 Lagrange 和 Laplace 等同时关注 Newton 万有引力定律的正确性和太阳系的稳定性遥相呼应.
一个系统复杂性的判据之一就是该系统首次积分的存在性与其多寡. 对任意质量的三体问题, Bruns [7] 也已证明, 除已知的由系统的对称性产生的首次积分 (如能量和角动量) 外, 不存在更多的关于速度的代数的首次积分. Poincare [8] 进一步证明了含两个小质量的三体问题, 没有更多的关于椭圆要素的解析的首次积分. 近年来, Ziglin、Morales-Ruiz 和 Ramis 等关于亚纯首次积分的不存在性研究 (参见文献 [9]) 促进了周期解和微分 Galois 理论的发展; 他们的方法可以看成是 Poincare 方法的复化.沿特殊周期解 (不必通有) 的单值群 (monodromy group) 和微分 Galois 群 (differential Galois group)的非交换性反映了系统的不可积性.
对于解析地依赖于小参数的近可积 Hamilton 系统, Poincare 系统地发展了 Lindstedt 依小参数之阶在相应的可积系统共振域之外逐次形式地消去角变量的一般过程, 开创了新的研究方法. 这里的重点在于观念上的改变, 这之前只是关注于特殊解的解析表达式.
参数的级数解, 即 Poincare 所谓的 Lindstedt 级数. Poincare 证明了变频 Lindstedt 级数的通有发散性. 它反映了系统的不规则或者说不可积程度.
Poincare 的基本思想是, 完全可积系统由周期解组成的不变环面 (即完全共振环面) 没有动力学意义, 在充分一般的摄动下极有可能被破坏, 从而产生通有的即特征指数非平凡的周期解, 这是上述系统不可积从而 Lindstedt 级数发散的主要原因. 需要说明的是, Poincare 所说的周期解是天文学意义下的周期解, 即在旋转坐标系下的周期解; 如上所述, 它在 Poincare 关于天体力学的研究中起很重要的作用; 特征指数、稳定流形和不稳定流形、同宿轨和异宿轨、微分拓扑中的通有性、奇点理论以及分支理论等思想和概念均源于此.
Poincare 也系统地发展了变分方程的积分不变量理论, 后被 Cartan 发扬光大: 外微分形式和 Lie群理论. 他借助积分不变量证明限制性问题通有解的回归定理 (recurrence theorem), 类似 Poisson 稳定性定理, 这可以看成概率和测度意义下的弱稳定性定理. 遍历性理论发端于此.
Poincare 通过分析天文学家使用发散级数的方法, 提出了渐近级数的概念和基本的性质, 并预见了渐近分析理论发展的若干重要课题 (参见文献 [10, 11]).
Poincare (1912 年), 随后 Birkhoff (博克霍夫, 1913 年) 关于平面圆型限制型三体问题周期解存在性的工作 (即 Poincar´e-Birkhoff (博克霍夫) 不动点定理) 促使 Arnold 在 20 世纪 60 年代提出其关于Hamilton 映射的不动点个数的系列著名猜想, 这是现代辛拓扑理论 (Gromov-Witten 理论、Floer 同调和 Fukaya 范畴等) 发展的动力之一. Aubry-Mather 理论的发展亦源于此.
Kolmogorov、Arnold 和 Moser1. KAM 理论
与 Poincare 的情形相反, 非共振拟周期环面动力学上十分重要, 有可能在充分小的通有摄动下被保持, 这正是 KAM 理论的肇始. 事实上, Poincare 明确表示他不能排除固定频率 Lindstedt 级数的收敛性, 尽管他认为这很不可能.
1954 年, Kolmogorov 首次指出在解析的近可积 Hamilton 系统中, 若未摄动的 Hamilton 函数非退化地依赖于作用变量, 则频率满足丢番图条件的拟周期解在摄动系统中会被保持. Moser 被美国数学评论邀请撰写 Kolmogorov 上述文章的评论 (参见文献 [12]). 由于文中一些地方没有给出严格证明, Moser 写信给 Kolmogorov 询问相关细节, 但却始终没有得到任何回答. 他于是尝试自己给出这个结果的证明. 1962 年, Moser 对 333 阶可微的情形给出了这个定理的严格证明. 需要说明的是, 333 阶可微性不是本质的, 可以降到 3 + ϵ 阶. 1963 年, Arnold 也对解析情形给出了严格的证明. 他们都大大发展了 Kolmogorov 的想法, 由此诞生了按照他们三人名字的首字母命名的 KAM 理论. 该理论至今依然生机勃勃, 在数学 (如有限和无穷维 Hamilton 系统) 和数学物理的研究中发挥着重要作用. 其根本想法是利用无穷维 Newton 迭代法的快速收敛性来抵消共振的影响.
2. Arnold 定理
Kolmogorov 定理或者 Moser 的不变曲线定理可以直接用来证明平面圆型限制性三体问题中每个三维能量面上均有二维不变 Lagrange 环面组成的 Cantor 集. 由于拓扑的原因, 这是很强的稳定性结果.
但是如果是非限制性问题, Kepler 问题的退化性 (也即超可积性) 使问题变得异常复杂.
Arnold 1963 年在此问题上取得重要突破, 受太阳系稳定性问题的启发, 他首先将 Kolmogorov 定理推广到容许退化的情形, 然后严格证明了平面三体行星系统当行星质量充分小的时候正测集拟周期解和不变环面的存在性, 即 KAM 稳定性. 同时, 他还声称下面的定理成立:
定理 4 (Arnold) 对任意的平面或空间 (1 + n)- 体问题, 当行星的质量足够小时, 在相空间中具给定半长轴的共面 Kepler 运动附近, 存在 Lebesgue 正测集的拟周期运动.
对于空间三体问题, 有两种共振使问题比平面情形时复杂, Arnold 处理了其中的一种, 并建议用 Jacobi 约化来处理另一种, 这最终由 Robutel 于 1995 年严格证明. 空间一般 N - 体问题的证明由两组数学家分别完成. 一是 Herman 于 20 世纪 90 年代末在其讨论班上详细解释了他对此问题证明的想法, 即使用长期系统的线性化方程并结合使用 Poincar´e 关于 Hamilton 系统约化的思想来获得可处理的退化性, 这最终由 Fejoz (2004) 实现. 二是 Chierchia 和 Pinzari (2010) 先进行部分约化, 然后再在余二维的辛子流形上利用类似 Arnold 处理平面问题的想法来证明.
在将 Arnold 定理应用于实际的太阳系时还有很多困难, 原因有二:
(1) 定理要求行星的质量足够小以至于小到了不切实际的程度, 不可能涵盖太阳系大行星质量的情形. 如 Henon 曾指出太阳系中行星与太阳质量比要小于 10^{−330}10^{−330} , Arnold 的定理才可以应用. 近年来, 虽然有一些改进的 KAM 型定理, 但是也只能应用于太阳系的一些子系统 (如太阳 - 木星 -Victoria 小行星).
(2) 定理中的正测集是一个频率满足丢番图条件的 Cantor 集, 而判断太阳系的长期平均系统是否满足丢番图条件也是不切实际的. 所以, 从天文学的角度来讲, Arnold 定理的结论是不明确的.
3. Arnold 扩散和 Nekhoroshev 定理
对于非限制性 N - 体问题, 由于系统的自由度大于 2, Lagrange 不变环面不再能分离能量面, 因此可能会有这样的轨道, 即离不变 KAM 环面很近的轨道尽管很长时间内都待在环面附近, 但是最终会逃逸到很远的区域. Arnold 1964 年构造了第一个具有这种轨道的 Hamilton 系统的例子, 是为 Arnold扩散现象. 这是当前 Hamilton 系统研究中的热点问题之一. Aubry-Mather 理论和弱 KAM 理论都与此相关. 近来, 扩散机制被用来理解小行星带 Kirkwood 缝隙问题.
Nekhoroshev 于 1979 年首次给出了近可积 Hamilton 系统扩散时间的下界估计, 并被 Niederman应用于三体问题.
Sussman 和 Wisdom自 20 世纪 80 年代始, 随着电子计算机技术的发展, 使得探索真实的太阳系动力学成为可能, 这包括了太阳及其行星, 甚至更实际的地球 - 月球子系统以及广义相对论效应等. 需要说明的是, 所有的数值研究都囿于当时的计算机技术.
利用传统的数值方法, 可以肯定在两亿年时间尺度上, 外太阳系 (即木星、土星、天王星和海王星)是稳定的.
Sussman 和 Wisdom 通过数字太阳系仪的构造于 1988 年将计算推进到 8.75 亿年时间尺度, 他们的数据明确显示冥王星轨道有混沌的迹象, 其部分原因是它与海王星之间特有的共振关系. 因为冥王星的质量太小 (约为太阳质量的 1 亿 3 千万分之一, 也因此于 2006 年 8 月 24 日被国际天文联合会由太阳系九大行星之一降格为太阳系的矮行星), 它的不稳定性并未对太阳系的其他部分造成显著的稳定性影响.
Laskar尽管数值计算有了长足的进步, 对整个太阳系进行更长时间的数值模拟依然是十分艰巨的任务,需要新的想法来帮助实现实际的数值模拟.
Laskar 的一个想法是利用高阶长期 (secular) 系统数值模拟整个太阳系的长期演化, 即用一个具有十五万项的正规型来替换 Newton 方程. 它是一个质量近似到两阶、离心率和倾角近似到五阶的长期系统. 它描述的不是行星 Kepler 快速运动, 而是这些椭圆在太阳系共振的影响下的缓慢演变. 这样就可以进行数亿年演化的数值模拟. 一个惊人的结果是内太阳系 (即水星、金星、地球和火星) 是混沌的, 也即地球初始位置 15 米的测量误差会导致 1 亿年后 1 亿 5 千公里的差别, 这是地日距离. 所以, 实际上精确预测 1 亿年后的行星运动是不可能的.
为了理解各种共振, Laskar 还发展了频率分析 (frequency analysis) 方法, 现今被广泛用于高能离子加速器和古气候学. 例如, 这可以用来部分说明地球和火星近日点进动频率和其升交点连线旋转频率之间的共振对混沌的影响.
鉴于上述难以逾越的困难, 为了理解行星系统在太阳系寿命相当的时间尺度上的动力学行为, Laskar 自 20 世纪 90 年代中期受动力系统定性理论 (双曲动力系统影子引理 (shadowing lemma))启发, 还进行了如下太阳系长期系统伪轨道的大量数值研究: 从太阳系实际状态附近的 5 组初始条件出发对长期系统进行数值模拟, 这其中地球的位置差别在 10 米左右; 模拟到 5 亿年后, 从 5 组数据中选取水星离心率最大的一组; 在其邻域中选取 5 组初始数据重复上述过程. 十多次以后, Laskar 发现 50 亿年内也就是太阳系的生命周期内水星和金星相互靠近, 这将导致它们的碰撞或者水星逃离太阳系; 另外金星、地球和火星之间也会出现碰撞或逃逸. 后来, Laskar (2008 年) 对方程组 (2.2) 直接进行数值计算的结果也再次印证了上述论断.
2008 年以后, Laskar 又对更实际的包含相对论效应的方程系统中水星和金星碰撞概率进行了研究. 因为相对论系统更稳健, 所以揭示水星和金星的碰撞轨道愈发困难, 因此这是更富挑战性的问题.从 2008 年 8 月开始的 6 个月的时间内, Laskar 和他的团队及时地利用了当时法国最先进的位列世界第十四的超级计算机系统 JADE 的 2501 个核 (cores), 在每个核上计算一条轨道. 他们对整个太阳系内行星运动的 2501 组不同的解进行了 50 亿年的数值模拟, 这相当于太阳变成红巨星前的期望寿命.基于我们今天对太阳系的了解, 这 2501 组解都可以同等地看成太阳系未来可能的轨道. 他们 2009 年发布的结果是: 有百分之一的可能, 水星轨道有显著增大以至与金星或者太阳发生碰撞, 地球的轨道没有受到显著影响; 其中一组轨道水星离心率的增加伴随火星离心率的增加, 从而造成内太阳系的失稳; 进一步研究显示这包括火星的逃逸、水星和地球、火星和地球以及金星和地球的碰撞等不同程度的可能性. 这项数值研究的另外一个惊人的副产品是: 如果只对 Newton 系统进行模拟, 碰撞的概率会增至百分之六十. 这间接佐证了广义相对论.
这些数值结果还有待数学上进行严格证明, 或许变分理论的发展有助于此问题的进一步研究.
稳定还是不稳定? 这还将是一个问题一方面, 尽管实际上很难验证应用于太阳系的可能性, KAM 理论特别是Arnold 非凡的稳定性定理说明对于一个非空开集的质量范围, 有界轨道具有正的 Lebesgue 测度. 这从某种程度上说明 Lagrange和 Laplace 在测度论的意义下是对的.
另一方面, Birkhoff 以及 Herman (ICM 1998) 猜想在给定的能量面上非游荡集无处稠密. 这特别地蕴含有界轨道是无处稠密的, 因此拓扑稳定性是不可能的. 这在某种意义上说明 Newton 的断言是对的.
天文学家, 例如 Laskar 认为, 对于实际的行星质量, 在测度论的意义下不稳定性看来更有可能. 或许我们以 Poincare 1897 年就太阳系稳定性为题的科普文献 (参见文献 [4]) 的开篇语作为本文的结束语是合适的, 因为一个世纪之后他的观点依然成立.
Les personnes qui s' intéressent aux progrès de la Mécanique céleste, ..., doivent éprouver quelque étonnement en voyant combien de fois on a démontré la stabilité du système solaire.
Lagrange l'a établie d'abord, Poisson l'a démontrée de nouveau, d'autres démonstrations sont venues depuis, d'autres viendront encore. Les démonstrations anciennes étaient-elles insuffisantes, ou sont-ce les nouvelles qui sont superflues?
L'étonnement de ces personnes redoublerait sans doute, si on leur disait qu'un jour peut- être un mathématicien fera voir, par un raisonnement rigoureux, que le système planétaire est instable.
