科学技术一直在飞速发展，有哪些正在或即将颠覆我们日常生活的新认知？
2024-11-19 阅读 20
更新于 2024年11月21日
压缩感知是本世纪一项颠覆日常生活的重大科技进展，这是Candès，Romberg和陶哲轩在2006年发表的论文中引入的。
图像无处不在。它们在社交媒体页面上，在医生的办公桌上帮助诊断，在科学家的计算机屏幕上帮助研究化学，物理或生物过程。数字图像淹没了现代世界。
所有图像都是使用物理设备测量得到的。采集图像的设备种类繁多。这包括多数家庭都拥有的简单设备，例如数码相机；医院中的专用医学成像设备，例如磁共振成像（MRI），X射线计算层析（CT）扫描仪；科学设备，例如实验室中的电子显微镜。
数学上建模图像重建问题最简单的方式是如下的离散线性逆问题：
给定测量y=Ax+e,恢复x给定测量y=Ax+e,恢复x
这里 y\in \mathbb{C}^my\in \mathbb{C}^m 是感知设备产生的测量值向量， A\in \mathbb{C}^{m\times N}A\in \mathbb{C}^{m\times N} 是代表采集过程的测量值矩阵， e\in \mathbb{C}^me\in \mathbb{C}^m 是测量噪声向量， x\in \mathbb{C}^Nx\in \mathbb{C}^N 是待重建的（向量化的）未知图像。整数 mm 是测量次数， NN 是图像的像素数。设计图像重建方法就是构造重建映射
\mathrm{R}: \mathbb{C}^m \to \mathbb{C}^N\mathrm{R}: \mathbb{C}^m \to \mathbb{C}^N
输入 yy 输出真实图像 xx 的近似 \mathrm{R}(y)\mathrm{R}(y) 。
如果 m=Nm=N ， AA 可逆，那么重建 xx 原则上是直接的。无噪声时，我们就是解线性方程组 Ax=yAx=y ，但这种情形实践中很罕见。在实践中，测量次数 mm 往往远少于问题的规模 NN ，那么线性方程组是高度欠定的，从 yy 精确恢复 xx 一般是不可能的。
近似地恢复 xx 的经典方式是，对 yy 作用 AA 的左逆，例如伪逆 A^\daggerA^\dagger 。这是简单的线性恢复方法，计算上通常高效而稳定。它也有简单的解释：计算出的图像 \hat{x}=A^\dagger y\hat{x}=A^\dagger y 在所有符合测量的中有最小的 \ell^2\ell^2 -范数。不幸的是，这方法一般给出低质量的重建。下图(c)对含有经典的Shepp-Logan幻影的合成MRI实验解释了这一现象。我们看到，重建的图像显示大量伪影。
怎么办？要注意，这图像可不是像素的任意数组：它们具有边缘和纹理之类的特征。数学上，这意味着自然图像可建模为嵌入在高维向量空间 \mathbb{C}^N\mathbb{C}^N 中的低维非线性空间中的对象。这本身绝非新概念。这是JPEG-2000和MPEG等现代有损图像压缩标准的核心。然而直到2000年代中期，研究者才开始在图像重建问题的语境下发展数学工具利用这种结构。这引出一个自成领域的主题，压缩感知，能应用于成像以及计算科学和工程中的许多其它问题。
在最近十多年里，压缩成像的发展深远地改变了实用图像重建。在许多应用特别是MRI中，经典的线性恢复方法已被新一代技术取代。
不难看到为什么。上图(d)显示了(c)使用的方法替换为基于压缩感知的压缩成像方法的结果。这两个方法使用完全相同的数据，特别是测量次数相等，压缩感知恢复却显著更优。没有困扰经典重建的伪影，至少对人眼而言完美重建了图像。
先泼凉水，现在说室温超导为时尚早，一些人提的量子计算机就算实用化也不能取代经典计算机，不要先吹得太过头然后擅自失望。
