如果人类即将消失，你将留下哪一个公式证明人类文明的存在？
2024-11-19 阅读 20
更新于 2024年11月21日
能够证明人类文明的最高成就，果然还是写出来作用量就够了，不同的作用量给出我们对世界不同具体问题的认识。
比如经典力学，我们只需要写：
S=\int dt (\frac{1}{2}mv^2-V(x)).S=\int dt (\frac{1}{2}mv^2-V(x)).
对于相对论，更简单，直接写
S=-mc\int \sqrt{-g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu} S=-mc\int \sqrt{-g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu}
这是满足洛伦兹不变性的最简单作用量，至于很多人讲的什么质能方程都能直接从这个作用量中得到。这里简要推导一下，对于某个特定的坐标系，我们可以写出来不变间隔
ds=\sqrt{c^2dt^2-d\bm x^2}=cdt\sqrt{1-\bm v^2/c^2}ds=\sqrt{c^2dt^2-d\bm x^2}=cdt\sqrt{1-\bm v^2/c^2}
于是利用 S=\int dt LS=\int dt L ，我们就能最终把拉氏量给敲定下来：
L=-mc^2\sqrt{1-\frac{\bm v^2}{c^2}}L=-mc^2\sqrt{1-\frac{\bm v^2}{c^2}}
既然我们有了相对论的拉氏量，那就可以直接计算动量了：
\bm p=\frac{\partial L}{\partial\bm v}=\frac{m\bm v}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\bm p=\frac{\partial L}{\partial\bm v}=\frac{m\bm v}{\sqrt{1-v^2/c^2}}
而能量/哈密顿量就是做一个勒让德变换：
E=\bm p\cdot \bm v-L=\frac{mc^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}E=\bm p\cdot \bm v-L=\frac{mc^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}
我们马上就能看到质能关系在哪，当粒子静止时， \bm v=0\bm v=0 ，此时就有 E=mc^2E=mc^2 。那和原先的 E=\frac{1}{2}mv^2E=\frac{1}{2}mv^2 有什么关系呢？这个需要回忆一下高数的一个基本展开，当变量 x\rightarrow0x\rightarrow0 时：
(1+x)^\alpha\approx1+\alpha x(1+x)^\alpha\approx1+\alpha x
于是当我们研究宏观低速情形时，就有
